共同研究グループ (1) (数学グループ）
研究題目
作用素論的データ構造の数学的理論と解析手法構築
研究概要
研究提案である、作用素論的データ構造に基づいたデータ解析を行う上では、データ構造を生成する非線形力学系の数学的性質を調べることが重要になります。特に、異なるデータ構造間を比較するための計算可能な計量を定義してその性質を調べることや、実データに現れるノイズを柔軟に考慮可能な確率モデルを構築することは、実応用上利用に耐え得る技術を構築するためには必要不可欠になります。この様な研究を進める上で、直接関係のある力学系の理論と、背景に現れる関数解析や作用素環論の理論だけでなく、より幅広い数学分野の手法をこの課題に応用します。実際にデータ構造を表現するのに利用されているKoopman作用素の有界性の数学的厳密な証明や、作用素論的データ構造に対して定義される各種不変量のクラスタリングや分類などの問題に対しても、主たる共同研究者の専門である数論幾何で利用されているコホモロジー理論や圏論、それ以外にも作用素環論的手法、微分幾何的手法、最適輸送の理論などの応用も試みます。このような方針で、上記の研究実施項目を中心に、大域的な視点から数学的観点から研究に関わります。 論幾何で利用されているコホモロジー理論や圏論、それ以外にも作用素環論的手法、微分幾何的手法、最適輸送の理論などの応用も試みます。このような方針で、上記の研究実施項目を中心に、大域的な視点から数学的観点から研究に関わります。
研究構想における位置づけ・必要性
作用素環論的データ構造の基盤を構築するためには、この手法をうまく機能させ、解析方法が適切であることを証明する数学的基盤が必要不可欠になります。必要となる数学的手法は多岐に渡ることから、当グループでは純粋数学・数理物理の中でも、整数論・数論幾何などの代数系、微分幾何学、最適輸送など幾何学系、偏微分方程式や作用素環論など解析系のそれぞれの研究者と、数理物理学者など、幅広い数理科学分野の研究者をメンバーとして、様々な数学・数理科学的手法を有機的に統合してこの問題に取り組みます。作用素論的なデータ解析において、そのデータの情報を的確に抽出する不変量を定義することは極めて重要です。また、実データを扱う際には、ノイズが入ることは不可欠で、現在のモデルに確率論的要素を取り込むことは重要になります。さらに、実際に扱っている作用素が有界かどうかを判定することは情報系分野では軽視される傾向があり一見純数学的な興味と思われがちであるが、数値計算で得られる結果が実際のモデルに収束しているかを保証する重要な要素であり、この解析手法の有効範囲を決定する重要な研究です。また、これらデータ構造を分類したりより詳細な解析を行うために、圈論やコホモロジー理論等、より高度の数学的理論を応用します。上記は、研究構想を進めるためには必要不可欠で、また本領域の達成目標である「数学の発想を取り入れた革新的な情報活用手法の創出に資する理論及び技術の構築」に直接的に貢献することになります。